Question

16．已知复数z=bi（b∈R），$\frac{z-2}{1+i}$是实数，i是虚数单位．
（1）求复数z；
（2）求$|{\frac{1-z}{2+i}}|$
（3）若复数（m+z）²所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把z=bi（b∈R）代入$\frac{z-2}{1+i}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得b；
（2）把z代入$\frac{1-z}{2+i}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，再代入复数模的计算公式求解；
（3）把z代入（m+z）²，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部都大于0联立不等式组求解．

解答 解：（1）∵z=bi（b∈R），
∴$\frac{z-2}{1+i}$=$\frac{bi-2}{1+i}$=$\frac{（bi-2）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=$\frac{（b-2）+（b+2）i}{2}$=$\frac{b-2}{2}$+$\frac{b+2}{2}$i．
又∵$\frac{z-2}{1+i}$是实数，∴$\frac{b+2}{2}$=0，
∴b=-2，则z=-2i；
（2）∵$\frac{1-z}{2+i}=\frac{1+2i}{2+i}=\frac{（1+2i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$，
∴$|{\frac{1-z}{2+i}}|$=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（-\frac{3}{5}）^{2}}=1$；
（3）∵z=-2i，m∈R，∴（m+z）²=（m-2i）²=m²-4mi+4i²=（m²-4）-4mi，
又∵复数（m+z）²所表示的点在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{-4m＞0}\end{array}\right.$，解得m＜-2，即m∈（-∞，-2）．

点评 题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，训练了复数模的求法，是基础题．