Question

16．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用判别式和根与系数的关系，即可求出a、b、c的大小．
（Ⅱ）根据二次函数的最大值为正数，列出不等式，求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵不等式ax²+bx+c＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}，
∴方程ax²+（b+2）x+c=0的两个实数根为1、3，
且a＜0；
∴1+3=-$\frac{b+2}{a}$①，1×3=$\frac{c}{a}$②；
即c=3a，b=-4a-2；
又∵方程ax²+bx+c+6a=0有两个相等的根，
∴△=b²-4a•（c+6a）=0，
即（-4a-2）²-4a•（3a+6a）=0，
化简得5a²-4a-1=0，
解得a=1（不合题意，舍），a=-$\frac{1}{5}$；
∴b=$\frac{4}{5}$-2=-$\frac{6}{5}$，c=-$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）∵函数y=ax²+bx+c=ax²-（4a+2）x+3a，
其最大值为正数，
∴$\frac{4a•3a{-（4a+2）}^{2}}{4a}$＞0，
∴4a•3a-（4a+2）²＜0，
化简得a²+4a+1＞0，
解得a＞-2+$\sqrt{3}$，或a＜-2-$\sqrt{3}$，
∴a的取值范围是{a|a＜-2-$\sqrt{3}$，或-2+$\sqrt{3}$＜a＜0}．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应的方程之间关系的应用问题，也考查了判别式和根与系数的关系应用问题，是综合性题目．