Question

1．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的最小正周期为π，f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则f（x+$\frac{π}{12}$）+f（x-$\frac{π}{6}$）的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由周期求出ω，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性求得φ的值，可得f（x+$\frac{π}{12}$）+f（x-$\frac{π}{6}$）的解析式，再利用正弦函数的最大值求得它的最大值．

解答 解：∵已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后所得图象对应的函数为y=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）为偶函数，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得φ=kπ-$\frac{π}{6}$，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
故 φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
则f（x+$\frac{π}{12}$）+f（x-$\frac{π}{6}$）=sin（2x）+sin（2x-$\frac{π}{2}$）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
故它的最大值为$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性求得φ的值，正弦函数的最大值，属于基础题．