Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=

7

，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）证明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）欲证平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACC₁A₁垂直，而根据DE⊥AA₁而DE⊥AE．AA₁∩AE=A满足线面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）过点A做AF垂直A₁E于F，连接DF，由（1）知：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．所以AF⊥平面A₁DE，则∠ADF即为直线AD和平面A₁DE所成角，在三角形ADF中求出此角即可．

解答： 解：（1）如图所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AA₁⊥平面A₁B₁C₁
又DE?平面A₁B₁C₁，
所以DE⊥AA₁．
而DE⊥AE．AA₁∩AE=A，
所以DE⊥平面ACC₁A₁，
又DE?平面A₁DE，
故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．
（2）过点A做AF垂直A₁E于F，连接DF，

由（1）知：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．
所以AF⊥平面A₁DE，
则∠ADF即为直线AD和平面A₁DE所成角，
因为DE⊥平面ACC₁A₁．
所以DE⊥AC，
而△ABC是边长为4的正三角形，
所以AD=2

3

，AE=4-CE=4-

1

2

CD=3，
又因为AA₁=

7

，
所以A₁E=

AA12+AE2

=

( 7 )2+32

=4，
AF=

AE•AA1

A1E

=

3 7

4

，
所以sin∠ADF=

AF

AD

=

21

8

，
故直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值为

21

8

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面所成角的计算，考查逻辑思维能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．