Question

分设函数f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）•f（n）=f（m+n），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）证明f（x）是R上的减函数；
（3）如果对任意实数x，有f（2ax-x²）•f（ax²-2x+4）＜1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）赋值法先求出f（0）的值，然后结合x＜0时f（x）的范围；
（2）利用定义法，结合第一问的结果利用作商法比较f（x₁）与f（x₂）的大小；
（3）结合已知先将原式左边合并，将式子变成两个函数值的大小比较，再利用单调性列出不等式．

解答： 解：（1）令m=0，n=-1，则f（0）f（-1）=f（-1），
∵f（-1）＞0，∴f（0）=1，
再令m=x＞0，n=-x则f（x）f（-x）=f（0）=1，∴f(x)=

1

f(-x)

，
∵-x＜0，∴f(-x)＞1∴0＜

1

f(-x)

＜1，
即当x＞0时，0＜f（x）＜1
（2）设x₁＜x₂，则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）f（x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1，即0＜

f(x2)

f(x1)

＜1，∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）是R上的减函数，
（3）∵f（2ax-x²）•f（ax²-2x+4）＜1，∴f（2ax-x²+ax²-2x+4）＜f（0），
即f[（a-1）x²+2（a-1）x+4]＜f（0），
∵f（x）是R上的减函数，∴（a-1）x²+2（a-1）x+4＞0要恒成立．
当a=1时，不等式4＞0恒成立．
当a＞1时，则△=[2（a-1）]²-4（a-1）×4＜0解得 1＜x＜5，∴1≤x＜5．

点评：本题考查了抽象函数的单调性的判断方法，一般利用定义推证，强调“构造”的思路．