Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：解法一（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．设AB中点为D，连接PD，CD．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．
（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解．
解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．
（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．
解答：解法一
（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．     

设AB中点为D，连接PD，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，
因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，
不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．
所以CD=2，OC===
在RT△OCP中，tan∠OCP===．
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则=（1，0，），=（2，2，0）．

设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=-，则y=1，z=1，所以=（-，1，1）．设二面角B-AP-C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．故二面角B-AP-C的大小为arccos．
解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，

所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．
如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，
CD=2，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（-1，-2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量．
设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．
设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，
取x=-，则y=1，z=1，所以=（-，1，1）．设二面角B-AP-C的平面角为β，易知β为锐角．
而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．
故二面角B-AP-C的大小为arccos．
点评：本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．