Question

1．在各项为正数的等比数列{a_n}中，a₁=2，且2a₁，a₃，3a₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为{a_n}的前n项和，${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}的公比为q，由2a₁，a₃，3a₂成等差数列．可得2a₁+3a₂=2a₃，即2q²-3q-2=0，解出进而得出．
（2）由（1）知：S_n=2ⁿ⁺¹-2，${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，∵2a₁，a₃，3a₂成等差数列．
∴2a₁+3a₂=2a₃，
即2q²-3q-2=0，
解得q=2或$q=-\frac{1}{2}$，
又因为数列各项为正，故q=2，
又a₁=2，∴${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）知：S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，
${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{{S}_{1}}-\frac{1}{{S}_{2}}）$+$（\frac{1}{{S}_{2}}-\frac{1}{{S}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}）$
=$\frac{1}{{S}_{1}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$．

点评 本题考查了“裂项求和法方法、等比数列的定义通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．