Question

11．方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x的解的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设f（x）=x^-2-（$\frac{1}{2}$）^x，其中x≠0；利用根的存在性定理判断f（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）内有一个零点，计算f（2）=f（4）=0，判断f（x）在区间（0，+∞）上有两个零点，由此得出答案．

解答 解：设f（x）=x^-2-（$\frac{1}{2}$）^x，其中x≠0；
容易验证，f（-1）=1-2=-1＜0，
f（-$\frac{1}{2}$）=4-$\sqrt{2}$＞0，
所以f（x）在区间（-1，-$\frac{1}{2}$）内有一个零点，
即方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x有一个实数解；
又f（2）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$=0，
f（4）=$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{16}$=0，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上有两个零点是2和4，
对应方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x有两个实数解2和4；
综上，方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x解的个数是3个．
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点与方程实数根的个数判断问题，是综合性题目．