Question

5．已知点F（2，0），直线l：x=-2，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）点D在x轴上，且在F点的右侧，点P不在坐标原点，且|$\overrightarrow{FP}$|=|$\overrightarrow{FD}$|，直线m平行于PD，且和曲线C有且只有一个公共点E．
证明直线PE过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）设P的坐标为（x，y），则Q（-2，y），根据向量数量积的坐标运算公式，化简等式$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，即可得到动点P的轨迹C的方程为y²=8x；
（2）求出k_PD=-$\frac{{y}_{0}}{4}$，直线与抛物线的另一个交点坐标处切线的斜率，证明相等即可．

解答 （1）解：设P的坐标为（x，y），则Q（-2，y），可得$\overrightarrow{QP}$=（x+2，0），$\overrightarrow{QF}$=（4，-y），$\overrightarrow{FP}$=（x-2，y），$\overrightarrow{FQ}$=（-4，y），
∵$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，
∴（x+2）•4=（x-2）（-4）+y²，化简得y²=8x，
即动点P的轨迹C的方程为y²=8x．
（2）证明：不妨设P（x₀，y₀），则D（x₀+4，0），∴k_PD=-$\frac{{y}_{0}}{4}$，
直线PF的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），与y²=8x联立可得（x-x₀）（x₀x-4））=0，
∴x=x₀或x=$\frac{4}{{x}_{0}}$，
即直线与抛物线的另一个交点坐标为（$\frac{4}{{x}_{0}}$，-$\sqrt{\frac{32}{{x}_{0}}}$）
由y=-$\sqrt{8x}$，可得y′=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$，
∴抛物线在（$\frac{4}{{x}_{0}}$，-$\sqrt{\frac{32}{{x}_{0}}}$）处切线的斜率为-$\frac{\sqrt{2{x}_{0}}}{2}$=-$\frac{{y}_{0}}{4}$，
∴E（$\frac{4}{{x}_{0}}$，-$\sqrt{\frac{32}{{x}_{0}}}$），直线PE过定点F（1，0）．

点评 本题着重考查了动点轨迹的求法、直线与抛物线的位置关系和向量数量积运算等知识，同时考查了逻辑思维能力、计算能力和转化化归的数学思想等知识，属于中档题．