Question

17．函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x+2|-5}$．
（1）求函数f（x）的定义域A；
（2）设B={x|-1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁_RA）时，证明：$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}$|．

Answer 1

分析 （1）分类讨论x的范围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出x的范围，即可确定出A；
（2）求出B与A补集的交集，得到a、b满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可．

解答 （1）解：由题意得：|x+1|+|x+2|-5≥0，
当x≤-2时，得x≤-4；当-2＜x＜-1时，无解；当x≥-1时，得x≥1，
∴A={x|x≤-4或x≥1}；
（2）证：∵B={x|-1＜x＜2}，∁_RA={x|-4＜x＜1}，
∴B∩∁_RA={x|-1＜x＜1}，
∴a、b∈{x|-1＜x＜1}，
要证$\frac{|a+b|}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}$|，只需证4（a+b）²＜（4+ab）²，
∵4（a+b）²-（4+ab）²=4a²+4b²-a²b²-16=（b²-4）（4-a²），
∵a、b∈{ x|-1＜x＜1}，
∴（b²-4）（4-a²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴$\frac{|a+b|}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}$|成立．

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算，以及函数的定义域及其求法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．