Question

12．已知函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R，A={x|f（x）=x，x∈R}，B={x|f[f（x）]=x，x∈R}
（1）写出集合A与B之间的关系，并证明；
（2）当A={-1，3}时，用列举法表示集合．

Answer 1

分析 （1）若x∈A，则x=f（x）成立，则f[f（x）]=f（x）=x必成立，进而根据集合包含关系的定义，得到结论；
（2）由A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}，结合方程根与系数关系可求a，b，进而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求．

解答 （1）证明：若x∈A，则x=f（x）成立，
则f[f（x）]=f（x）=x必成立，即x∈B，
故A⊆B；
（2）解：∵A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}，
∴-1，3是方程x²+（a-1）x+b=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，即a=-1，b=-3，
∴f（x）=x²-x-3，
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}，
化简可得，（x²-x-3）²-x²=0，
∴（x²-3）（x²-2x-3）=0，
∴x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$或x=3或x=-1，
∴B={$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-1，3}．

点评 本题主要考查了二次函数与二次方程之间关系的相互转化，方程的根与系数关系的应用