Question

已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=1，圆D：x²+y²-2mx=0．
（1）若直线x+y-a=0与圆C有公共点，求实数a的取值范围；
（2）若点A（x，y）是圆C上的任一点，且x²+y²-（m+

2

2

）x-（m+

2

2

）y≤0（m∈R）恒成立，判断圆C与圆D的位置关系．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用,圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：（1）求出圆的圆心与比较，直线x+y-a=0与圆C有公共点，说明圆心到直线的距离等于小于半径，即可求实数a的取值范围；
（2）利用点A（x，y）是圆C上的任一点，得到x，y的范围，化简x²+y²-（m+

2

2

）x-（m+

2

2

）y≤0（m∈R）为m的不等式，利用基本不等式求出m的最小值，然后通过两个圆的圆心距与半径的关系，判断圆C与圆D的位置关系．

解答： 解：（1）圆C的圆心为（1，1），半径为1 …（2分）
∵直线x+y-a=0与圆C有公共点∴

|2-a|

2

≤1…（4分）
∴（a-2）²≤2∴2-

2

≤a≤2+

2

…（6分）
（2）∵点A（x，y）是圆C上的点∴x≥0，y≥0
∵x2+y2-(m+

2

2

)x-(m+

2

2

)y≤0(m∈R)恒成立
∴m+

2

2

≥

x2+y2

x+y

=

2(x+y)-1

x+y

=2-

1

x+y

…（8分）
由（1）可知x+y=a≤2+

2

∴2-

1

x+y

的最大值为1+

2

2

…（9分）
∴m+

2

2

≥1+

2

2

∴m≥1…（10分）
圆D的圆心为（m，0），半径为m，圆C与圆D的圆心距为

(m-1)2+1

…（11分）
∵m-1＜

(m-1)2+1

＜m+1∴圆C与圆D相交 …（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，圆与圆的位置关系，圆的方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．