Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝0，对任意n∈N^*，都有na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}满足a_n＋log₂n＝log₂b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解：(1)解法一：∵na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，

∴当n≥2时，(n－1)a_n＝S_n－1＋n(n－1)，

两式相减，得na_n＋1－(n－1)a_n＝S_n－S_n－1＋n(n＋1)－n(n－1)，

即na_n＋1－(n－1)a_n＝a_n＋2n，化简，得a_n＋1－a_n＝2.

当n＝1时，1×a₂＝S₁＋1×2，即a₂－a₁＝2.

∴数列{a_n}是以0为首项，2为公差的等差数列．

∴a_n＝2(n－1)＝2n－2.

解法二：由na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，得

n(S_n＋1－S_n)＝S_n＋n(n＋1)，

整理，得nS_n＋1＝(n＋1)S_n＋n(n＋1)，

两边同除以n(n＋1)，得－＝1.

∴数列是以＝0为首项，1为公差的等差数列．

∴＝0＋n－1＝n－1.

∴S_n＝n(n－1)．

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝n(n－1)－(n－1)(n－2)＝2n－2.

又a₁＝0适合上式，

∴数列{a_n}的通项公式为a_n＝2n－2.

(2)∵a_n＋log₂n＝log₂b_n，

∴b_n＝n·2a_n＝n·2^2n－2＝n·4^n－1.

∴T_n＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_n－1＋b_n＝4⁰＋2×4¹＋3×4²＋…＋(n－1)×4^n－2＋n×4^n－1，　①

4T_n＝4¹＋2×4²＋3×4³＋…＋(n－1)×4^n－1＋n×4ⁿ，　②

①－②，得－3T_n＝4⁰＋4¹＋4²＋…＋4^n－1－n·4ⁿ＝

∴T_n＝[(3n－1)·4ⁿ＋1]．