Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞1，f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用导数求函数的单调区间与极值，先求导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．
（2）由f（x）＞0，得a＜

lnx+x2

x

在x＞1时恒成立，令g（x）=

lnx+x2

x

，求g（x）的范围，再约束a的范围．

解答： 解：（1）解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

，
当0＜x＜

1

2

或x＞1时，f′（x）＞0，
当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增函数，在（

1

2

，1）上是减函数，
∴（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增区间，（

1

2

，1）上是减区间．
（2）由f（x）＞0，得a＜

lnx+x2

x

在x＞1时恒成立，
令g（x）=

lnx+x2

x

，则g′(x)=

1+x2-lnx

x2

，
令h（x）=1+x²-lnx，则h′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）为增函数，
∴g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用及恒成立与函数的最值求解的相互转化关系的应用．