Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E，F分别为BC，B₁C₁，A₁B₁的中点．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求证：平面BEF∥平面DA₁C₁．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）充分利用已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E，F分别为BC，B₁C₁，A₁B₁的中点．只要证明BC⊥平面DAA₁ 即可；
（2）利用面面平行的判断，只要证明EF∥平面DA₁C₁ 和BE∥平面DA₁C₁即可．

解答： 证明：（1）∵△ABC为正三角形，D是BC的中点
∴BC⊥AD，…（1分）
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AA₁ …（3分）
∵AD，AA₁是平面DAA₁内的两条相交直线，
∴BC⊥平面DAA₁ …（5分）
∵A₁D?平面DAA₁
∴BC⊥A₁D …（6分）
（2）∵D，E，F分别为BC，B₁C₁，A₁B₁的中点，
∴EF是△A₁B₁C₁的边A₁C₁的中位线
∴EF∥A₁C₁ …（7分）
∵A₁C₁?平面DA₁C₁，EF?平面DA₁C₁，
∴EF∥平面DA₁C₁，…（8分）
∵EC₁∥BD且EC₁=BD
∴四边形BDC₁E为平行四边形
∴BE∥DC₁ …（9分）
∵DC₁?平面DA₁C₁，BE?平面DA₁C₁，
∴BE∥平面DA₁C₁，…（10分）
∵BE，EF是平面BEF的两条相交直线
∴平面BEF∥平面DA₁C₁ …（12分）

点评：本题考查了三棱柱中的线线垂直和面面平行的判断，关键是熟练运用三棱柱的性质以及线面垂直和线面平行的判定定理解答．