Question

已知f（x）=e^x-e^-x，g（x）=e^x+e^-x，其中e=2.718…．设f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，求

g(x+y)

f(x+y)

的值．

Answer 1

考点：有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，可得（e^x-e^-x）（e^y-e^-y）=4，（e^x+e^-x）（e^y+e^-y）=8，
解得e^x+y+e^-x-y=6，设e^x+y=t＞0，则t+

1

t

=6，可得t²-6t+1=0，解得t．于是

g(x+y)

f(x+y)

=

ex+y+e-x-y

ex+y-e-x-y

=

t2+1

t2-1

．

解答： 解：∵f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，
∴（e^x-e^-x）（e^y-e^-y）=4，
（e^x+e^-x）（e^y+e^-y）=8，
化为e^x+y-e^x-y-e^-x+y+e^-x-y=4，
e^x+y+e^-x+y+e^x-y+e^-x-y=8，
解得e^x+y+e^-x-y=6，
设e^x+y=t＞0，则t+

1

t

=6，∴t²-6t+1=0，
解得t=3±2

2

．
∴

g(x+y)

f(x+y)

=

ex+y+e-x-y

ex+y-e-x-y

=

t2+1

t2-1

=

6t

6t-2

=

3t

3t-1

=±

3 2

4

．

点评：本题考查了指数幂的运算法则，考查了整体思想解决问题的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．