Question

若实数a，b满足a²+b²≤1，则关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根的概率是______．

Answer 1

以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，
∵实数a，b满足a²+b²≤1，
∴可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，即单位圆及其内部，如图所示，面积为S=π×1²=π
若关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根，则满足△=4-4（a+b）≥0，解之得a+b≤1
符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的下方，其面积为

3

4

π•12+

1

2

•1•1=

3

4

π+

1

2

，
∴关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根的概率是

3 4 π+ 1 2

π

=

3π+2

4π

．
故答案为：

3π+2

4π

．