Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+ax，x＞0}\\{0，x=0}\\{{e}^{-x}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，若函数f（x）有三个零点，则实数a的值是（　　）

• A． e
• B． $\frac{1}{e}$
• C． -$\frac{1}{e}$
• D． -e

Answer 1

分析 判断f（x）的奇偶性，根据f（x）的零点个数可知e^x+ax=0在（0，+∞）上只有一解，即直线y=-ax与y=e^x相切，根据导数的几何意义列方程组解出a即可．

解答 解：若x＞0，则f（-x）=e^x+ax=f（x），
同理，当x＜0时，f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，
又f（0）=0，∴x=0是f（x）的一个零点，
∵f（x）有三个零点，
∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．
当x＞0时，令f（x）=0得e^x=-ax，
∴直线y=-ax与y=e^x相切．
设切点坐标为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=-a}\\{-a{x}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，
解得x₀=1，a=-e．
故选：D．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断与性质，函数零点的个数判定，导数的几何意义，属于中档题．