Question

已知函数f（x）=x²-x-m在区间（-1，1）上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：法1：根据函数零点的性质结合二次函数的性质即可得到结论．
法2：将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题即可．

解答： 解：解法一：①当函数f（x）=x²-x-m在区间（-1，1）上只有1个零点时，△=0或

△＞0 f(-1)•f(1)＜0

或

△＞0 f(1)=0

，
解得m=-

1

4

或0＜m＜2或m=0；
②当函数f（x）=x²-x-m在区间（-1，1）上有2个零点时，

△＞0 f(-1)＞0 f(1)＞0

，解得-

1

4

＜m＜0；
综上所述，实数m的取值范围为[-

1

4

，2)．
法二：函数f（x）=x²-x+5-m在区间（-1，1）上有零点
?方程x²-x-m=0在区间（-1，1）上有解
?方程x²-x=m在区间（-1，1）上有解
?函数y=x²-x与函数y=m在区间（-1，1）上有交点
∵函数y=x²-x在区间（-1，1）上的值域为[-

1

4

，2)
∴-

1

4

≤m＜2
∴实数m的取值范围为[-

1

4

，2)．

点评：本题主要考查一元二次函数的零点的问题，根据函数零点的性质，以及函数和方程之间的关系进行转化是解决本题的关键．