Question

已知曲线C₁：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），直线C₂

x=1-2t y=2t

（t为参数）
（1）将曲线C₁与C₂的参数方程化为普通方程．
（2）若曲线C₁与C₂交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：（1）可由sin²θ+cos²θ=1，消去θ，得到C₁的方程；通过代入法，可得C₂的方程；
（2）联立椭圆方程和直线方程，消去y，得到二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到．

解答： 解：（1）曲线C₁：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），
可由sin²θ+cos²θ=1，消去θ，
得到普通方程为：C1：

x2

4

+

y2

3

=1，
直线C₂

x=1-2t y=2t

（t为参数），
化为普通方程得，C₂：x+y-1=0；
（2）由

y=1-x x2 4 + y2 3 =1

消去y，得7x²-8x-8=0，
设A，B两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），则有x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
则|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

64 49 + 32 7

=

24

7

．

点评：本题考查参数方程和普通方程的互化，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式的运用，属于中档题．