Question

下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（　　）

• A、f(x)=x

  1

  3

• B、f(x)=ln

  2-x

  2+x

• C、f（x）=-|x+1|
• D、f(x)=

  1

  2

  (ax+a-x)

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．

解答： 解：对于A．f（x）=x

1

3

是奇函数，由幂函数的性质可得其在区间[-1，1]上单调递增，故A错；
对于B．f（x）=ln

2-x

2+x

，有f（-x）+f（x）=ln

2-x

2+x

+ln

2+x

2-x

=0，是奇函数；
又在区间[0，1]上y=ln（

4

x+2

-1）递减，故在[-1，1]上单调递减，故B正确；
对于C．f（x）=-|x+1|，∴f（-x）=-|-x+1|≠-f（x），
∴f（x）=-|x+1|不是奇函数，故B错；
对于D．a＞1时，y=a^x在[-1，1]上单调递增，y=a^-x[-1，1]上单调递减，
∴f（x）=

1

2

（a^x+a^-x）（a＞0，a≠1）在[-1，1]上单调递增，故D错．
故选：B．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题．