Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+c²=b²-ac．
（1）求B的大小；
（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2$\sqrt{3}$，BD=1，求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得：cosB=-$\frac{1}{2}$，B∈（0，π），可得B．
（2）在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{sin∠BAD}$，解得sin∠BAD．cos∠BAC=cos2∠BAD=1-2sin²∠BAD．可得sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$．可得cosC=cos（60^°-∠BAC）．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a²+c²=b²-ac，即a²+c²-b²=-ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，B∈（0，π），可得B=$\frac{2π}{3}$．
（2）在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{sin∠BAD}$，
解得sin∠BAD=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$．
cos∠BAC=cos2∠BAD=1-2sin²∠BAD=1-×2×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{8}$．
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\sqrt{1-（\frac{7}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
∴cosC=cos（60^°-∠BAC）=$\frac{1}{2}×\frac{7}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{7+3\sqrt{5}}{16}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．