Question

12．已知数列{$\frac{n}{{2}^{n}}$}的前n项和为S_n，则S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
相减可得：$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．