Question

13．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 由题意，|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π-（α+β），过P作AB的垂线．即可求sinα，sinβ，cosα，cosβ，从而求sin2θ的值．

解答 解：由题意，函数y=sin（πx+φ），T=$\frac{2π}{π}=2$，∴|AB|=2，
P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π-（α+β），过P作AB的垂线交于C，|AC|=$\frac{1}{4}T=\frac{1}{2}$，|AP|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，|PC|=1，
那么：sinα=$\frac{|PC|}{|AP|}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
|BC|=$\frac{3}{4}T=\frac{3}{2}$，|PB|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
那么：sinβ=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，cosβ=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
则：sin2θ=2sinθcosθ=-2sin（α+β）cos（α+β）
=-2（sinαcosβ+cosαsinβ）（cosαcosβ-sinαsinβ）
=$\frac{16}{65}$，
故答案为：$\frac{16}{65}$．

点评 本题考查了三角函数图象及性质的运用和计算能力，属于中档题．