Question

若函数f（x）=

k-2x

1+k•2x

（k为常数）在定义域上为奇函数．
（1）求k的值；
（2）若k＞0，且对任意的实数t∈[-3，-2]，不等式f（2t-t²）+f（2t²-m）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由函数是奇函数列式求解k的值；
（2）把不等式f（2t-t²）+f（2t²-m）＜0恒成立转化为f（2t-t²）＜f（-2t²+m），借助于函数的单调性去掉“f”，构造函数g（t）=t²+2t-m=（t+1）²-1-m，由其在[-3，-2]上满足g（-2）＞0求得m的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）在定义域上为奇函数，
∴f(-x)+f(x)=

k-2-x

1+k•2-x

+

k-2x

1+k•2x

=

k•2x-1

2x+k

+

k-2x

1+k•2x

=

(k2-1)(22x+1)

(2x+k)(1+k•2x)

=0
∴k=±1； 
（2）由（1）知，当k=1时，f(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
可知f（x）在定义域上为减函数，
又因f（x）是奇函数，从而不等式
f（2t-t²）+f（2t²-m）＜0等价于f（2t-t²）＜-f（2t²-m）=f（-2t²+m），
由上式推得2t-t²＞-2t²+m，
即对任意t∈[-3，-2]，有t²+2t-m＞0，记g（t）=t²+2t-m=（t+1）²-1-m，
而g（t）在[-3，-2]上递减，
∴只需g（-2）＞0，得m＜0．
∴实数m的取值范围是（-∞，0）．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的性质求解不等式，注意数学转化思想方法的应用，是中档题．