Question

某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是 R（x）=

500x- 1 2 x2(0≤x≤500) 125000(x＞500)

（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；
（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益-总成本）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由于年产量是x台，则总成本为（20000+100x）元，从而分段写出函数解析式即可；
（2）当0≤x≤500时，利用配方法y=-

1

2

（x-400）²+60000求最值，当x＞500时，利用单调性可得y=105000-100x＜105000-100×500=55000．从而解得．

解答： 解：（1）由于年产量是x台，则总成本为（20000+100x）元．
当0≤x≤500时，y=500x-

1

2

x²-（20000+100x），
即y=-

1

2

x²+400x-20000；
当x＞500时，y=125000-（20000+100x），
即y=105000-100x．
所以y=

- 1 2 x2+400x-20000，0≤x≤500 105000-100x，x＞500.

；
（2）当0≤x≤500时，
y=-

1

2

（x-400）²+60000，
所以当x=400时，y_max=60000；
当x＞500时，y=105000-100x是减函数，
即 y=105000-100x＜105000-100×500=55000．
综上，当x=400时，y_max=60000．
即当年产量为400台时，该科技公司所获得的年利润最大，
最大年利润为60000元．

点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．