Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A(-

2

2

，

3

2

)，离心率为

2

2

，点F₁，F₂分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且

OP

⊥

OQ

？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率，推出b=c，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a、b，即可得到椭圆C方程．
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x²+y²=r²（0＜r＜1），当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，联立方程组，令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理，结合x₁x₂+y₁y₂=0．推出3b²=2k²+2，利用直线PQ与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果．

解答： 解：（1）由题意得：

c

a

=

2

2

，得b=c，因为

(- 2 2 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，
得c=1，所以a²=2，
所以椭圆C方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x²+y²=r²（0＜r＜1）
当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，
由

y=kx+b x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4bkx+2b²-2=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
x1+x2=-

4bk

1+2k2

，x1x2=

2b2-2

1+2k2

…（6分）
∵

OP

⊥

OQ

，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴

(1+k2)(2b2-2)

1+2k2

-

4k2b2

1+2k2

+b2=0，
∴3b²=2k²+2．…（8分）
因为直线PQ与圆相切，∴r2=

b2

1+k2

=

2

3

所以存在圆x2+y2=

2

3

当直线PQ的斜率不存在时，也适合x²+y²=

2

3

．
综上所述，存在圆心在原点的圆x²+y²=

2

3

满足题意．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程的求法，圆与椭圆的以及直线的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．