题目内容
已知函数f（x）=log2x-1，对于满足0＜x1＜x2的任意实数x1、x2，给出下列结论：
①[f（x2）-f（x1）]（x2-x1）＜0；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③f（x2）-f（x1）＞x2-x1；
④
＜f(
)，
其中正确结论的序号是 ．
①[f（x2）-f（x1）]（x2-x1）＜0；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③f（x2）-f（x1）＞x2-x1；
④
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
其中正确结论的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：函数的性质及应用
分析：考察对数函数的性质，先判断函数在定义域上单调递增，函数图象为上凸函数，然后判断即可．
解答：
解：函数f（x）=log2x-1在定义域（0，+∞）单调递增，
则对于满足0＜x1＜x2的任意实数x1、x2，给出下列结论：
①∵0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，当∵[f（x2）-f（x1）]（x2-x1）＜0时，f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），函数单调递减，与题意函数单调递增矛盾，①错误，
②函数图象为上凸型函数，则
＞
⇒x2f（x1）＞x1f（x2），②正确；
③f（x2）-f（x1）＞x2-x1?
＞1，即函数图象上任意两点连线的斜率都大于1，而求导得
f′（x）=
不恒大于1，③错误；
④
＜f(
)，函数图象为上凸函数，④正确，
故答案为：②④
则对于满足0＜x1＜x2的任意实数x1、x2，给出下列结论：
①∵0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，当∵[f（x2）-f（x1）]（x2-x1）＜0时，f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），函数单调递减，与题意函数单调递增矛盾，①错误，
②函数图象为上凸型函数，则
| f(x2) |
| f(x1) |
| x2 |
| x1 |
③f（x2）-f（x1）＞x2-x1?
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
f′（x）=
| 1 |
| xln2 |
④
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
故答案为：②④
点评：本题解题的关键在于数形结合，利用图象解题，这是高中数学中重要的思想方法．
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| ||||
C、[1-
| ||||
D、（-∞，1-
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