Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+

2

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率不为零的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），点D（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且

DA

•

DB

=4，求y₀的值
（3）若过点M（1，0）的直线与椭圆C相交于P，Q两点，如果-

3

5

≤

OP

•

OQ

≤-

2

9

（O为坐标原点），且满足|

PM

|+|

MQ

|=t

PM

•

MQ

，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,椭圆的标准方程

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）椭圆与直线的位置关系，结合椭圆的几何性质求解．（2）联立方程组，中点问题，结合韦达定理整体求解．
（3）先讨论当直线的斜率为0时，再讨论直线的斜率不为0，根据方程（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，利用根与系数的关系，求解得出t=

4

3

1+ 2 m2+1

，最后利用函数求解．

解答： 解：（1）由题可得：e=

c

a

3

2

．
∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+

2

=0相切，
∴

|0+0+ 2 |

12+12

=b，解得b=1．
再由 a²=b²+c²，可解得：a=2．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y²=1
（2）由（1）可知A（-2，0）．
设B点的坐标为（x₃，y₃），直线l的斜率为k（k≠0），
则直线l的方程为y=k（x+2），于是A，B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

由方程组消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
∴-2x3=

16k2-4

1+4k2

，∴x3=

2-8k2

1+4k2

，从而y3=

4k

1+4k2

，
设线段AB的中点为E，则E的坐标为(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)
∵K≠0时，∴线段AB的垂直平分线方程为y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)
令x=0，解得y0=

6k

1+4k2

由

DA

=(-2，-y0)，

DB

=(x3，y3-y0)
∴

DA

•

DB

=-2x3-y0(y3-y0)=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

(

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

)
整理得7k2=2，故k=±

14

7

所以y0=±

2 14

5

（3）当直线的斜率为0时，

OP

•

OQ

=-4∉[-

3

5

，-

2

9

]，不成立；
∵直线的斜率不为0，
设P（x₁，y₁）（y₁＞0），Q（x₂，y₂）（y₂＜0），
直线的方程可设为：x=my+1，
代入椭圆方程

x2

4

+y²=1得：（m²+4）y²+2my-3=0
∴y₁+y₂=

-2m

m2+4

，y₁y₂=

-3

m2+4

，
而x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=

4-4m2

4+m2

，
∴，

OP

•

OQ

═x₁x₂+y₁y₂=

1-4m2

m2+4

，
即-

3

5

≤

1-4m2

m2+4

≤-

2

9

，解得

1

2

≤m²≤1；
∵|

PM

|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

m2+1

-y1；|

MQ

|=

(x1-1)2+ y 2 2

=-

m2+1

-y2；
又∵|

PM

|+|

MQ

|=t

PM

-

MQ

=t|

PM

|-|

MQ

|，
∴t=

1

| MQ |

+

1

| PM |

=

1

m2+1

（

1

y1

-

1

y2

）=

1

m2+1

（

y2-y1

y 1y2

）
=

1

m2+1

•

- (y1+y2)2-4y1y2

y 1y2

=

1

m2+1

•

4 m2+3

3

=

4

3

1+ 2 m2+1

∴当

1

2

≤m²≤1时，解得

4 2

3

≤t≤

4 21

9

点评：本题综合考察了直线与椭圆的位置关系，方程，平面向量的数量积的应用，属于难题，运算量很大．