Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

 

Answer 1

 解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：，，

，，

．   椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设，，

联立

得，

又，

因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，

，即，

，

，

．

解得：

，，且均满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．