Question

如果（1-2^x）⁹的展开式中第三项等于288，则

lim

n→∞

（

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

）等于（　　）

• A、

  1

  5

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

考点：数列的极限

专题：计算题,二项式定理

分析：由（1-2^x）⁹的展开式中第三项等于288求出x，然后利用等比数列的求和公式求和，则

lim

n→∞

（

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

）可求．

解答： 解：（1-2^x）⁹的展开式中第三项为

C

2 9

(-2x)2=288，解得x=

3

2

．
∴

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

=

1 x (1- 1 xn )

1- 1 x

=

2 3 (1-( 2 3 )n)

1- 2 3

=2(1-(

2

3

)n)．
∴

lim

n→∞

（

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

）=

lim

n→∞

2(1-(

2

3

)n)=2．
故选：D．

点评：本题考查了二项式定理，考查了等比数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是中档题．