Question

16．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）≤0，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知可得即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}≤-1$，求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}{|}^{2}$的最小值，开方得答案．

解答 解：由题意可知，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，
又$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）≤0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}{|}^{2}≤0$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}≤-1$．
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}）^{2}+（\overrightarrow{b}）^{2}+（\overrightarrow{c}）^{2}$$+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=$3-2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）≥5$．
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，属于中档题．