Question

如图，已知正方形的边长为，点分别在边上，，现将△沿线段折起到△位置，使得．

（1）求五棱锥的体积；
（2）求平面与平面的夹角．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）由于△沿线段折起到△的过程中，平面平面始终成立.所以平面.又因为，正方形的边长为，点分别在边上，.即可求得结论.
（2）依题已建立空间直角坐标系.求出两个平面的法向量，由法向量的夹角得到平面与平面的夹角.

试题解析：（1）连接，设，由是正方形，，
得是的中点，且，从而有，
所以平面，从而平面平面，     2分
过点作垂直且与相交于点，
则平面            4分
因为正方形的边长为，，
得到：，
所以，
所以
所以五棱锥的体积；     6分
（2）由（1）知道平面，且，即点是的交点，
如图以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，         7分

设平面的法向量为，则
，
，
令，则，         9分
设平面的法向量，则，
，
令，则，即，             11分
所以，即平面与平面夹角.         12分