Question

已知函数f(x)＝alnx＋bx²图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x－y－3＝0．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)函数g(x)＝f(x)＋m－ln4，若方程g(x)＝0在[，2]上恰有两解，求实数m的取值范围．

Answer 1

(1)  f(x)＝4lnx－x² ；(2)  2<m≤4－2ln2．

试题分析：(1)由切线方程知图像过，求导后，由题可得，分别代函数与导函数表达式，解可得；(2)由(1)得g(x)＝4lnx－x²＋m－ln4，即方程m＝x²－4lnx＋ln4，在上恰有两解，令
h(x)＝x²－4lnx＋ln4，由导函数得在上递减，在(，2)上递增，可得2< h(x)≤4－2ln2，即2<m≤4－2ln2．
解：(1)∵点P(1，f(1))在切线2x－y－3＝0上，
∴2－f(1)－3＝0，
∴f(1)＝－1，故b＝－1，   2分
又，∴f ′(1)＝a＋2b＝2，∴a＝4，
∴f(x)＝4lnx－x²．  4分
(2)g(x)＝4lnx－x²＋m－ln4
由g(x)＝0得：m＝x²－4lnx＋ln4，此方程在上恰有两解，  6分
记h(x)＝x²－4lnx＋ln4，则
,  8分
由h′(x)＝0得：x＝∈，
在 上，h′(x)<0，h(x)单调递减，
在(，2)上，h′(x)>0，h(x)单调递增，  10分
又h()＝＋4＋2ln2，h()＝2－4ln＋2ln2＝2，
h(2)＝4－4ln2＋2ln2＝4－2ln2，
∵h()≥h(2)，∴2<m≤4－2ln2．   13分