题目内容

已知函数f(x)=ex+2x2—3x
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2) 当x ≥1时,若关于x的不等式f(x)≥ax恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求证函数f(x)在区间[0,1)上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值(误差不超过0.2);(参考数据e≈2.7,≈1.6,e0.3≈1.3)。
(1)(e+1)x-y-2=0
(2)a≤e-1
(3)x≈0.45
(1)f'(x)=ex+4x-3,则=e+1,
又f(1)=e—1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-e+1=(e+1)(x-1),即:(e+1)x-y-2=0
(2)由f(x)≥ax,得ax≤ex+2 x2-3x,
∵x≥1 ,∴a≤
令g(x)= ,则g’(x)=
∵x≥1 ,∴g’(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴g(x)min=g(1)=e-1,
∴a的取值范围是a≤e-1,
(3)∵f'(0)=e0-3=-2<0,f'(1)=e+1>0,   ∴f'(0)·f'(1)<0
令h(x)=f'(x)=ex+4x-3,
则h'(x)=ex+4>0,f'(x)在正[0,1]上单调递增,
∴.f'(x)在[0,1]上存在唯一零点,f(x)在[0,1]上存在唯一的极值点.
取区间[0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算可知区间[0.3,0.6]的长度为0.3,所以该区间的中点x2=0.45,到区间端点的距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值
∴函数y=f(x)取得极值时,相应x≈0.45.
练习册系列答案
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