Question

20．△ABC中，cosA=$\frac{1}{3}$，AB=2，则$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最小值是-$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 以AC为x轴，A为原点建立坐标系，设AC=x，用x表示出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐标，得出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$关于x的函数，利用二次函数性质求出最小值．

解答 解：以AC为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，设AC=x，
则C（x，0），B（$\frac{2}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$），A（0，0）．
∴$\overrightarrow{CA}$=（-x，0），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{2}{3}-x$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=x²-$\frac{2}{3}x$=（x-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{9}$．
∴当x=$\frac{1}{3}$时，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取得最小值-$\frac{1}{9}$．
故答案为-$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的性质，属于中档题．