Question

12．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2．AA₁=4，则该长方体外接球的表面积为24π．

Answer 1

分析 由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC₁的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积

解答 解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=5，
∴长方体的对角线AC₁=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在同一球面上，
∴球的一条直径为AC₁，可得半径R=$\sqrt{6}$，
因此，该球的表面积为S=4πR²=4π×（$\sqrt{6}$）²=24π
故答案为：24π．

点评 本题考查了长方体的对角线公式、长方体的外接球和球的表面积公式等知识，属于基础题．