Question

1．直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数）．
（1）在极坐标系下，曲线C与射线θ=$\frac{π}{4}$和射线θ=-$\frac{π}{4}$分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=6\sqrt{2}-2t}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）先消去参数方程中的参数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可；
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t的值，再代入l的参数方程，得曲线C与直线l的交点坐标．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数）．
消去参数得曲线C在直角坐标系下的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
将其化为极坐标方程为：$\frac{{ρ}^{2}cos2θ}{16}+\frac{{ρ}^{2}sin2θ}{4}=1$，
分别代入θ=$\frac{π}{4}$和θ=-$\frac{π}{4}$，得|OA|²=|OB|²=$\frac{32}{5}$，
∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{16}{5}$；
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得（t-2$\sqrt{2}$）²=0，
∴t=2$\sqrt{2}$，代入l的参数方程，得x=2$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$，
∴曲线C与直线l的交点坐标为（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，是基础题．