Question

10．数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，S_n=a_n+1-2（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）na_n=n•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=a_n+1-2（n∈N^*），∴S_n-1=a_n-2，相减可得：a_n=a_n+1-a_n，化为：a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为1．
∴a_n=2^n-1．
（2）na_n=n•2^n-1．
∴数列{na_n}的前n项和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1．
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）n•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．