Question

11．根据所给条件求直线的方程：
（1）直线过点（-4，0），倾斜角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）直线过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；
（3）直线过点（5，10），且到原点的距离为5．

Answer 1

分析 （1）通过直线的倾斜角，求出直线的斜率，利用点斜式方程求出直线的方程；
（2）由题意设所求直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，代入点可得关于ab的方程，联立a+b可解得a，b的值，即可得方程；
（3）当直线无斜率时，方程为x-5=0，满足到原点的距离为5；当直线有斜率时，设方程为y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得答案．

解答 解：（1）∵倾斜角α的正弦值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosα=±$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}=±\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴斜率k=$±\frac{1}{3}$．
直线过点（-4，0），由直线的点斜式方程得到：y-0=±$\frac{1}{3}$（x+4）．
即：x-3y+4=0或x+3y+4=0．
（2）由题意设所求直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，
∵点（-3，4）在直线上，
则有$\frac{-3}{a}+\frac{4}{b}=1$，又a+b=12，两方程联立解得$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=16}\end{array}\right.$．
故所求直线的方程为：x+3y-9=0，或4x-y+16=0．
（3）当直线无斜率时，方程为x-5=0，满足到原点的距离为5；
当直线有斜率时，设方程为y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0，
由点到直线的距离公式可得$\frac{|10-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+（-1）^{2}}}=5$，解得k=$\frac{3}{4}$．
∴直线的方程为：3x-4y+25=0
综合可得所求直线的方程为：x-5=0或3x-4y+25=0．

点评 本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，考查直线点斜式和截距式方程的求法，考查点到直线的距离公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．