Question

已知等差数列{a_n}满足a₄=5，a₂+a₈=14，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2 an+3•b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

log2bn+1

}的前n项和；
（3）若c_n=a_n•（

2

） an+1，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出等差数列{a_n}的通项公式；由已知条件得

bn+1

bn

=4n，由此利用累乘法能求出bn=2n(n-1)．
（2）由

1

log2bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能求出数列{

1

log2bn+1

}的前n项和．
（3）cn=(2n-3)•(

2

)2n-2=(2n-3)•2n-1，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}满足a₄=5，a₂+a₈=14，
∴

a1+3d=5 2a1+8d=14

，解得a₁=-1，d=2，
∴a_n=2n-3．
∵数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2 an+3•b_n．
∴

bn+1

bn

=4n，∴

b2

b1

=4，

b3

b2

=42，

b4

b3

=43，…，

bn

bn-1

=4n-1，
以上各式相乘，得

bn

b1

=4

n(n-1)

2

=2n(n-1)，
∵b₁=1，∴bn=2n(n-1)．…（4分）
（2）∵

1

log2bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{

1

log2bn+1

}的前n项和为：
1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∴

1

log2b2

+

1

log2b3

+…+

1

log2bn+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（8分）
（3）∵a_n=2n-3，c_n=a_n•（

2

） an+1，
∴cn=(2n-3)•(

2

)2n-2=(2n-3)•2n-1，
∴Sn=-1+1•2+…+(2n-5)•2n-2+(2n-3)•2n-1，①
2S_n=-1•2+1•2²+…+（2n-5）•2^n-1+（2n-3）•2ⁿ，②
①-②，得-Sn=-1+2(2+22+…+2n-1)-（2n-3）•2ⁿ
=-1+2•

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-3）•2ⁿ
=（5-2n）•2ⁿ-5，
∴Sn=(2n-5)•2n+5．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法、裂项求和法的合理运用．