Question

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-ksin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）当k=2时，求函数f（x）在区间（0，

3π

2

）上的单调递增区间；
（2）当tanα=

1

2

时，f（α）=

3

2

，求k的值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）当k=2时，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性即可求函数f（x）在区间（0，

3π

2

）上的单调递增区间；
（2）当tanα=

1

2

时，将f（α）进行化简，利用1的代换，即可求k的值．

解答： 解：（1）当k=2时，f（x）=cosx（sinx+cosx）-2sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
=sinxcosx+cos²x-2sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）
=sinxcosx+cos²x-sin2（x+

π

4

）=sinxcosx+cos²x-cos2x
=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-cos2x
=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

由2mπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2mπ+

π

2

，m∈Z
得mπ-

π

8

≤x≤mπ+

3π

8

，k∈Z
∵若x∈（0，

3π

2

），
∴当m=0时，-

π

8

≤x≤

3π

8

，m∈Z，此时0＜x≤

3π

8

，
当m=1时，

7π

8

≤x≤

11π

8

．
综上函数f（x）的单调递增区间是（0，

3π

8

]，[

7π

8

，

11π

8

]；
（2）当tanα=

1

2

时，则

sinα

cosα

=

1

2

，即cosα=2sinα，
则由f（α）=

3

2

，得f（α）=cosx（sinα+cosα）-ksin（α+

π

4

）sin（α-

π

4

）
=sinαcosα+cos²α-ksin（α+

π

4

）cos（α+

π

4

）
=sinαcosα+cos²α-

k

2

sin2（α+

π

4

）=sinαcosα+cos²α-

k

2

cos2α=
=sinαcosα+cos²α-

k

2

[cos²α-sin²α]=

3

2

，
即

sinαcosα+cos2α- k 2 (cos2α-sin2α)

sin2α+cos2α

=

tanα+1- k 2 (1-tan2α)

1+tan2α

=

1 2 +1- k 2 (1- 1 4 )

1+ 1 4

=

12-3k

10

=

3

2

，
解得k=-1．

点评：本题主要考查三角函数的化简和求解，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．综合性较强，考查学生是运算能力．