Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+

3

2

=2cosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,解三角形

分析：（1）根据倍角公式化简已知可得：（2cosA-1）²=0，从而可得cosA=

1

2

，由0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）根据正弦定理得b=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，可得l=1+b+c=1+

2

3

（sinB+sinC），由A=

π

3

，可得l=1+2sin（B+

π

6

），由0＜B＜

2π

3

，即可求得△ABC的周长l的取值范围．

解答： 解：（1）根据倍角公式：cos2A=2cos²A-1，得2cos²A+

1

2

=2cosA，即4cos²A-4cosA+1=0，
所以（2cosA-1）²=0，所以cosA=

1

2

，
因为0＜A＜π，所以A=

π

3

，…7分
（2）∵a=1，
∴根据正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得b=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，
所以l=1+b+c=1+

2

3

（sinB+sinC），
因为A=

π

3

，所以B+C=

2π

3

，
所以l=1+

2

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]=1+2sin（B+

π

6

），
因为0＜B＜

2π

3

，所以l∈（2，3]．…15分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，属于基础题．