Question

如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（　　）

• A、

  5 -1

  2

• B、

  5 +1

  2

• C、

  3 -1

  2

• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：在三角形AFB中，分别求出AB，FA，FB，再由勾股定理，结合离心率公式以及范围，解方程即可求得双曲线的离心率．

解答： 解：在三角形AFB中，|FB|=

b2+c2

，
|AB|=

a2+b2

=c，|FA|=a+c．
由FB⊥AB，则
（a+c）²=（b²+c²）+c²=3c²-a²，
整理得c²-ac-a²=0，即e²-e-1=0，
解得e=

1± 5

2

，
由于双曲线的e＞1，
即有e=

1+ 5

2

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．