Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱A₁B₁的中点，则异面直线AM与B₁C所成的角的大小为arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B₁C所成的角．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，
则A（2，0，0），M（2，1，2），B₁（2，2，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，2），
设异面直线AM与B₁C所成的角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{5}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴θ=$arccos\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴异面直线AM与B₁C所成的角为arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$arccos\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．