题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞
），左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值是5，则a的值是 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3 |
| 3 |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=2a-|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值3代入|BF2|+|AF2|=4a-|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求a的值．
解答：
解：由题意，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a，
∴|BF2|+|AF2|=4a-|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
∵AB垂直x轴时，AB为通径，
∴|AB|=
=
，∴5=4a-
，
∵a＞
，
∴a=2．
故答案为：2．
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a，
∴|BF2|+|AF2|=4a-|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
∵AB垂直x轴时，AB为通径，
∴|AB|=
| 2b2 |
| a |
| 6 |
| a |
| 6 |
| a |
∵a＞
| 3 |
∴a=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．
练习册系列答案
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| 2 |
A、（0，2
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B、（2
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C、（
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D、（
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