题目内容
已知函数f（x）=
（a，b为常数，且a≠0），满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一实数解，
（1）求函数f（x）的解析式
（2）判断f（x）在（1，3）上的单调性，并证明．
（3）若f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，求a的取值范围．
| x |
| ax+b |
（1）求函数f（x）的解析式
（2）判断f（x）在（1，3）上的单调性，并证明．
（3）若f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，求a的取值范围．
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据条件求出a，b的值即可求函数f（x）的解析式
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（1，3）上的单调性．
（3）根据f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，进行转化即可求a的取值范围．
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（1，3）上的单调性．
（3）根据f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，进行转化即可求a的取值范围．
解答：
解：（1）∵f（x）=
且f（2）=1，
∴2=2a+b．
又∵方程f（x）=x有唯一实数解．
∴ax2+（b-1）x=0（a≠0）有唯一实数解．
故（b-1）2-4a×0=0，即b=1，又上式2a+b=2，可得：a=
，
从而f（x）=
=
，
（2）f（x）在（1，3）上单调递增，下面进行证明：
设任意1＜x1＜x2＜3
则f(x1)-f(x2)=
-
=
=
，
∵1＜x1＜x2＜3，
∴x1-x2＜0，（x1+2）＞0，（x2+2）＞0
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，3）上单调递增．
（3）由题（2）f（1）＜f（x）＜f（3）
又f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，
∴3a-1≤f(1)=
解得a≤
．
| x |
| ax+b |
∴2=2a+b．
又∵方程f（x）=x有唯一实数解．
∴ax2+（b-1）x=0（a≠0）有唯一实数解．
故（b-1）2-4a×0=0，即b=1，又上式2a+b=2，可得：a=
| 1 |
| 2 |
从而f（x）=
| x | ||
|
| 2x |
| x+2 |
（2）f（x）在（1，3）上单调递增，下面进行证明：
设任意1＜x1＜x2＜3
则f(x1)-f(x2)=
| 2x1 |
| x1+2 |
| 2x2 |
| x2+2 |
| 2x1x2+4x1-2x1x2-4x2 |
| (x1+2)(x2+2) |
| 4(x1-x2) |
| (x1+2)(x2+2) |
∵1＜x1＜x2＜3，
∴x1-x2＜0，（x1+2）＞0，（x2+2）＞0
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，3）上单调递增．
（3）由题（2）f（1）＜f（x）＜f（3）
又f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，
∴3a-1≤f(1)=
| 2 |
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点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的证明，综合考查函数的性质．
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