Question

已知y²=2px（p＞0）的顶点为O，点A、B在抛物线上，且

OA

•

OB

=0，|

AB

|=5

13

，直线OA的方程为y=2x，求抛物线的方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定直线OB的方程，两直线方程分别与抛物线联立，求出A，B的坐标，利用|

AB

|=5

13

，可得p，即可求出抛物线的方程．

解答： 解：∵

OA

•

OB

=0，直线OA的方程为y=2x，
∴直线OB的方程为y=-

1

2

x，
y=2x与y²=2px联立可得A（

p

2

，p），y=-

1

2

x与y²=2px联立可得B（8p，-4p），
∵|

AB

|=5

13

，
∴

(8p- p 2 )2+(-4p-p)2

=5

13

，
∵p＞0，
∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．