Question

8．若定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2-x²，则方程f（x）=sin|x|在[-3π，3π]内根的个数是10．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期，利用周期和对称性作出f（x）的函数图象，根据图象交点个数判断．

解答 解：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，
作出f（x）和y=sin|x|在（0，10）上的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象在（0，3π）上有5个交点，即5个零点，
又f（x）与y=sin|x|都是偶函数，故在（-3π，0）上也有5个零点，
∴f（x）=sin|x|在（-3π，3π）上有10个零点．
故答案为：10．

点评 本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，函数零点与图象的关系，属于中档题．