Question

19．已知曲线C：$y=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-4x+1$，直线l：x+y+2k-1=0，当x∈[-3，3]时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $k＞-\frac{5}{6}$
• B． $k＜-\frac{5}{6}$
• C． $k＜-\frac{3}{4}$
• D． $k＞-\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 将已知条件当x∈[-3，3]时，直线l 恒在曲线C的上方，等价于x在（-3，3）内（-x-2k+1）-$\frac{1}{3}$x³-x²-4x+1＞0恒成立，构造函数，通过求导数，判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值．

解答 解：命题等价于x在（-3，3）内，
（-x-2k+1）-（$\frac{1}{3}$x³-x²-4x+1）＞0恒成立
即k＜-$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
设y=-$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
y'=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（3-x）（1+x）
所以函数y=-$\frac{1}{6}$x³+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
在[-3，-1）内y递减，（-1，3]内递增
所以x=-1，y取最小值-$\frac{5}{6}$，
所以k＜-$\frac{5}{6}$，
故选：B．

点评 求函数在闭区间上的最值，一般的方法是求出函数的导函数，令导函数为0，判断出根左右两边的导函数值，求出函数的极值及区间两个端点处的函数值，选出最值．